UFD の既約元は素元

(定理) UFD の既約元は素元

仮定

• \( R \) は UFD
• \( a ~(\in R) \) は既約元

主張

\( a \) は素元である。

証明

\( a \) を素元分解すると、 \( n \) を自然数として \( a = p_1 \cdots p_n \) となったとする。
このとき、 \( a \) は既約元であるから、よく考えると (後々加筆します) \( p_i \) のどれか一つは \( a \) の単元倍となる。今 \( R \) は可換であるから \( p_1 \) が \( a \) の単元倍であったとしても一般性を失わない。
さて、 \( n \geqq 2 \) であるとすると、 \( p_2 \cdots p_n \) が単元であるから、これは各 \( p_i ~(i \geqq 2) \) が素元であることに矛盾する。よって \( n = 1 \) である。
つまり、 \( a = p_1 \) となる。 \( p_1 \) は素元なので、実は \( a \) も素元なのであった。

その他

• 逆「素元ならば既約元」は一般の整域 \( R \) で成立する。
• 「既約元ならば素元」が成立するのは UFD でのみ成り立つ (実は少しだけ条件を緩めることはできる) 。