Rの直和とR-加群が同型
Last-modified: Tue, 28 May 2019 17:10:27 JST (1798d)
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(定理) Rの直和とR-加群が同型
仮定
- \( M \) は自由R-加群
- \( \{m_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} \) は基底
主張
写像 \( \phi \) を
mathjax
\[ \phi: \bigoplus_{\lambda\in\Lambda} R \longrightarrow M: \{r_\lambda\} \longmapsto \sum_{\lambda\in\Lambda}r_\lambda m_\lambda \]
と定義すると、 \( \phi \) はR-加群としての同型写像。
証明
まずは \( \phi \) がR-準同型写像であることを示す。
\( r ~(\in R) \) と \( \{r_\lambda\}~(\in \bigoplus_{\lambda\in\Lambda} R) \) に対し、
mathjax
\[ \phi(r\{r_\lambda\}) = \phi(\{rr_\lambda\}) = \sum_{\lambda\in\Lambda} rr_\lambda m_\lambda = r\sum_{\lambda\in\Lambda}r_\lambda m_\lambda = r\phi(\{r_\lambda\}) \]
次に \( \phi \) が全単射であることを示す。しかしこれは \( \{m_\lambda\} \) が基底であることと同値である。