R-加群の準同型定理

(定理) R-加群の準同型定理

仮定

• \( R \) は環
• \( M_1, M_2 \) はR-加群
• \( \phi: M_1 \longrightarrow M_2 \) はR-準同型

主張

\( M_1/\mathrm{Ker}\phi \simeq \mathrm{Image}\phi \)
\( \simeq \) はR-加群としての同型である。

証明

以下では \( N = \mathrm{Ker}\phi \) とする。

\( \bar{\phi} \) を、任意の \( g \in M_1 \) に対して \( \bar{\phi}(gN) = \phi(g) \) と定義すればこれが \( R \)-同型写像になっていることを示す。

まず、 \( \bar{\phi} \) が well-defined であることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。
\( \bar{\phi} \) が群に関して準同型となっていることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。
\( \bar{\phi} \) が積を保つことは、 \( r\bar{\phi}(mN) = r\phi(m) = \phi(rm) = \bar{\phi}(rmN) \) であるからよい。

以上から、 \( \bar{\phi} \) は \( R \)-準同型である。
また、これが全単射であることは、群に関する準同型定理の証明よりよい。

従って \( \bar{\phi} \) は \( R \)-同型写像である。