整域

仮定

• \( R \) は環

定義

\( R \) が整域であるとは、任意の \( a, b ~(\in R) \) について、もし \( a \times b = 0 \) となるならば \( a = 0 \) または \( b = 0 \) のいずれかが成立すること。

例

\( \mathbb{Z} \) は、積が \( 0 \) になるとき一方が必ず \( 0 \) となるので、整域である。

その他

• \( R \) を整域、 \( a, x, y \in R ~(a \neq 0) \) とするとき、 \( ax = ay \Longleftrightarrow x = y \)
  • \( (\Longleftarrow) \) 左から \( a \) をかけるだけでOK。
  • \( (\Longrightarrow) \) \( ax = ay \Longleftrightarrow ax - ay = 0 \Longleftrightarrow a(x - y) = 0 \) となり、 \( R \) は整域であるから \( a = 0 \) または \( x - y = 0 \) となるが、 \( a \neq 0 \) としているので \( x - y = 0 \) が分かる。よって \( x = y \) 。