R-加群の直積と直和

仮定

• \( R \) は環
• \( \{M_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda} \) はR-加群の集合

定義

• 直積: 環の直積 \( \displaystyle \prod_{\lambda \in \Lambda} \) は、単に直積集合であって、和を成分ごとの和、定数倍を全成分への定数倍として定義したもの。つまり:

  mathjax

  \[ \prod_{\lambda\in\Lambda} := \left\{(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mathrel{}\middle|\mathrel{} m_\lambda \in M_\lambda \right\} \]
• 直和: 環の直和 \( \displaystyle \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} \) は、直積集合に含まれる元のうち、有限個の成分を除いて他の成分が全て 0 になるものを集めたもの。つまり:

  mathjax

  \[ \bigoplus_{\lambda\in\Lambda} := \left\{(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda} \mathrel{}\middle|\mathrel{} m_\lambda \in M_\lambda, ~m_\lambda ~\mathrm{は有限個の}~ \lambda ~\mathrm{を除いて全て}~ 0 \right\} \]

例

• \( R = \mathbb{Z} \) のとき、 \( k_1, \cdots, k_a \in \mathbb{N} \) として

  mathjax

  \[ M = \mathbb{Z}^{\oplus n} \oplus (\mathbb{Z}/k_1\mathbb{Z}) \oplus \cdots \oplus (\mathbb{Z}/k_a\mathbb{Z}) \]
  は\( \mathbb{Z} \)-加群。

その他

• 直積、直和については扱う対象によって別の定義があるような状態で、どれが定義なのかがよく分かっていない。上の定義は一応ノートにあったから正しいはず。
• 上の定義から分かるように、任意個の和については直積と直和は異なる。しかし、有限個の場合には直積と直和は一致する。