R-加群の中国剰余定理

Last-modified: Tue, 28 May 2019 17:13:14 JST (1798d)
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(定理) R-加群の中国剰余定理

仮定

  • \( R \) は PID (なので UFD でもある)
  • \( a ~(\in R) \) は素元でも単元でもない元
  • \( a = p_1^{l_1}\cdots p_g^{l_g} \) は \( a \) の素元分解であり、 \( p_1, \cdots, p_g \) はどの二つも異なる。

主張

環としてもR-加群としても同型な写像 \( \displaystyle \phi: R/(a) \longrightarrow \prod_{i = 1}^g \left(R/P_i^{l_i}\right) \) が存在する。

証明

まず \( \phi \) を次のようにつくる:

\[ r + (a) \longmapsto \left(r + (p_1^{l_1}), \cdots, r + (p_g^{l_g})\right) \]

これの

  1. well-definedness
  2. 準同型
  3. 全単射

を示す。

well-defined

well-definedness を示す。とりあえず \( r_1 + (a) = r_2 + (a) \) とするとき、 \( r_1 - r_2 \in (a) \) が成り立っているから、 \( a' ~(\in (a)) \) を用いて \( r_1 = r_2 + a' \) とかける。すると、

\[ \left\lceil\phi(r_1 + (a)) = \left(r_1 + (p_1^{l_1}), \cdots, r_1 + (p_g^{l_g})\right)\right\rfloor = \left(r_2 + a' + (p_1^{l_1}), \cdots, r_2 + a' + (p_g^{l_g})\right) \]

ところで、すべての \( i \) で \( p_i^{l_i} \mid a \) より \( (a) \subset (p_i^{l_i}) \) であるから、 \( a' \in (p_i^{l_i}) \) となる。よって、

\[ \left\lceil\left(r_2 + a' + (p_1^{l_1}), \cdots, r_2 + a' + (p_g^{l_g})\right) = \left(r_2 + (p_1^{l_1}), \cdots, r_2 + (p_g^{l_g})\right)\right\rfloor = \phi(r_2 + (a)) \]

従って、 \( r_1 + (a) = r_2 + (a) \) のとき、確かに \( \phi(r_1 + (a)) = \phi(r_2 + (a)) \) となり well-defined 。

準同型

実際に計算する。後々加筆します。

全単射

単射

準同型写像なので、単射を示すには \( \mathrm{Ker}\phi = \{0\} \) を示せばよい。
そのためには、 \( \left\lceil\phi(r + (a)) = \left(r + (p_i^{l_i}), \cdots, r + (p_g^{l_g})\right)\right\rfloor = (0, \cdots, 0) \) となるような \( r \) は \( r \in (a) \) となることを示せばよい。
各成分同士で比較すると、全ての \( i \) で \( p_i^{l_i} \mid r \) が分かる。もともと \( a = p_1^{l_1} \cdots p_g^{l_g} \) であったことを思い出すと、 \( r \) は \( (a) \) の倍数であることが分かる。よって \( r \in (a) \) である。

全射

かなり頑張る (後々加筆します) 。