群準同型写像

仮定

• \( (G_1, \cdot), (G_2, \cdot) \) はどちらも群
• 写像 \( f \) は \( f: G_1 \longrightarrow G_2 \)

定義

\( f \) が準同型 (写像) であるとは、 \( x, y \in G_1 \) について、 \( f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) \) を満たすこと。

例

\( (\mathbb{Z}, +) \) と \( (2\mathbb{Z}, +) \) について、 \( f: n \longrightarrow 2n \) は準同型写像。なぜなら

かつ

となり、 \( f(n) + f(m) = f(n + m) \) を満たすため。

その他

準同型写像 \( f \) は、単位元を単位元へ写す

\( e_1, e_1 \) をそれぞれの単位元 \( e_1\in G_1, e_2 \in G_2 \) とする。

準同型写像の性質から

となる。また \( e_1 \) は単位元なので

である。よって

両辺に右から \( (f(e_1))^{-1} \) をかけると

となる。

準同型写像 \( f \) は、任意の \( x~(\in G_1) \) について、 \( f(x^{-1}) = \{f(x)\}^{-1} \)

\( e_1~(\in G_1), e_2~(\in G_2) \) をそれぞれ単位元とする。

準同型写像の定義により

上の性質により

よって

両辺に左から \( \{f(x)\}^{-1} \) をかけると

を得る。