R-加群の基底

仮定

• \( R \) は環
• \( M \) はR-加群
• \( X ~(\subset M) \) は \( M \) の部分集合

定義

\( X \) が基底であるとは、以下の同値な条件のいずれかを満たすこと。

1. \( \langle X\rangle = M \) かつ \( X \) が一次独立であること。
2. 全ての \( m ~(\in M) \) に対し、有限個の項を除いて 0 である数列 \( \{r_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} ~(\subset R^\Lambda) \) が一意に存在して、 \( X = \{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda} \) を用いて \( m = \sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda x_\lambda \) が成立することをいう。

例

• 2 番目の定義は字面が怖くて一瞬面くらうが、これはベクトルを基底の一次結合で表すとき、その表し方が一意である、というあれと同じである。