極大イデアルは素イデアル

(定理) 極大イデアルは素イデアル

仮定

• \( R \) は環
• \( I ~(\subset R) \) は極大イデアル

主張

\( I \) は素イデアルである。

証明

\( I \) は極大イデアルだから、極大イデアルによる剰余環の性質により、剰余環 \( R/I \) が体となる。体は必ず整域なので、 \( R/I \)は整域となる。すると素イデアルによる剰余環の性質 (の逆; 同値条件なので) により、 \( I \) は素イデアルとなる。