極大イデアル

仮定

• \( R \) は環
• \( I ~(\subset R) \) は \( R \) のイデアル

定義

\( I \) が極大イデアルであるとは、 \( I \) を真に含むイデアルが \( R \) しか存在しないこと。

(\( R \) 自身は極大イデアルには含まない)

例

\( \mathbb{Z} \) の極大イデアルの例としては素数 \( p \) を用いた \( (p) \) がある (逆にこれだけしかないらしい by Wikipedia) 。

考えてみると \( (p) \) が極大イデアルであることは用意に分かる。素数 \( p \) と適当な整数 \( n \) をもってくるとユークリッドの互除法から \( ap + bn = 1 \) となるような \( a, b \) が存在するので、この両辺を定数倍していけば任意の自然数が \( p, n \) の結合で表せることになる。つまり \( \langle\{p, n\}\rangle = \mathbb{Z} \) となるので、 \( p \) を真に含むイデアルは \( R \) しかない。