素元 のバックアップ(No.4)

仮定

  • \( R \) は整域
  • \( p ~(\in R) \) は \( R \) の元

定義

\( p \) が素元であるとは、 \( (p) \) が素イデアルであることをいう。

例

  • \( \mathbb{Z} \) の素元の集合は (\( \pm \)素数) である。

その他

  • Wikipedia では同値な別の定義が記されていた。
    \( p \) が素元であるとは、任意 \( R \) の元 \( a, b \) に対し、 \( p \mid ab \) ならば必ず、 \( p \mid a \) または \( p \mid b \) が成立することをいう。
    ある元 \( x \) が \( p \mid x \) であることは \( x \in \left\{np \mathrel{}\middle|\mathrel{} n \in R\right\} = (p) \) となることであるから、これを使って書き換えると素イデアルによる定義になる。
  • 既約元とは似ているが異なる。ただし、 \( \mathbb{Z} \) に代表される一意分解整域 (UFD) ではこの二者は同値となるので、 \( \mathbb{Z} \) ではどちらも (\( \pm \)素数) 素数となる。