準同型定理 のバックアップ(No.3)

(定理) 準同型定理

仮定

  • \( G, G' \) は群
  • \( \phi \) は準同型写像 \( \phi: G \longrightarrow G' \)

主張

\[ G/\mathrm{Ker}\phi \simeq \mathrm{Image}\phi \]

は同型となる。

なお、

証明

実際に同型写像 \( \bar{\phi}: G/\mathrm{Ker}\phi \longrightarrow \mathrm{Image}\phi \) を作っていく。以降では \( N = \mathrm{Ker}\phi \) とする。

次のように \( \bar{\phi} \) を定義する。

任意の \( x \in G/N \) に対し、 \( x = gN \) となる \( g \) を任意に選んで、その \( g \) で \( \bar{\phi}(x) = \phi(g) \)

ここで \( \phi(g) \in \mathrm{Image}\phi \) は \( \mathrm{Image}\phi \) の定義から成り立つ。よって \( \phi(g) \in \mathrm{Image}\phi \subset G' \) となる。

まずこの \( \bar{\phi} \) の well-definedness を確認しよう。定義では「任意に選んで」としたが、選び方によって像が変わってしまうとすればそれは写像ではないため、どれを選んでも像が変化しないことを示す必要がある。 \( \bar{\phi} \) が well-defined であるための必要十分条件は、任意の \( x \in G/N \) に対し、 \( x = g_0N = g_1N \) となるような任意の \( g_0, g_1 ~(\in G) \) に対して \( \phi(g_0) = \phi(g_1) \) が成立していることである。これを言うためには、任意の \( g_0, g_1 ~(\in G) \) に対して \( g_0N = g_1N \) ならば \( \phi(g_0) = \phi(g_1) \) が成立していれば十分である (おそらく本当は必要十分だろうけど) 。これは実際次のようにして確かめられる。

\( g_0N = g_1N \) のとき、 \( [g_0] = [g_1] \) であるから、 \( G \) で \( g_0 \sim g_1 \) となる。これは同値関係の定義により \( g_0^{-1}g_1 \in N \) となることを表す。ここで \( N = \mathrm{Ker}\phi \) だったことを思い出すと、 \( G' \) の単位元を \( e' \) として、 \( \phi(g_0^{-1}g_1) = e' \) となることが分かる。仮定から \( \phi \) は準同型写像であるから \( \phi(g_0^{-1})\phi(g_1) = \phi(g_0^{-1}g_1) \) となる。両辺に \( \phi(g_0) \) をかけることで \( \phi(g_1) = \phi(g_0)\phi(g_0^{-1}g_1) = \phi(g_0)e' = \phi(g_0) \) が分かる。よって、 \( \phi(g_0) = \phi(g_1) \) となり \( \bar{\phi} \) は well-defined である。

次に \( \bar{\phi} \) が準同型であることを示す。そのための必要十分条件は \( \bar{\phi}( (aN)(bN) ) = \bar{\phi}(aN)\bar{\phi}(bN) \) となることである。
\( N \) は核なので正規部分群であるから \( aN = Na \) を満たすことに注意する。また、 \( N \) は群なので、演算は \( N \) 内に閉じているはずだから \( NN = N \) となることにも注意。すると、左辺について

\[ \bar{\phi}( (aN)(bN) ) = \bar{\phi}((aN)(Nb)) = \bar{\phi}(aNb) = \bar{\phi}(abN) = \phi(ab) \]

さらに \( \phi \) は準同型写像だから

\[ \phi(ab) = \phi(a)\phi(b) \]

となる。一方で、右辺について

\[ \bar{\phi}(aN)\bar{\phi}(bN) = \phi(a)\phi(b) \]

である。両辺から同じ式が得られたので、 \( \bar{\phi}(ab) = \bar{\phi}(a)\bar{\phi}(b) \) が言える。よって \( \bar{\phi} \) は準同型写像。

さて、あとはこれが全単射であることを示せば同型写像であることが示せる。

*1 aN)(Nb