部分群

仮定

• \( (G, \cdot) \) は群
• \( H \) は \( H \subset G \) すなわち \( G \) の部分集合

定義

\( (H, \cdot) \) が部分群であるとは、 \( H \) が演算 \( \cdot \) についてなお群であることを言う。

例

• \( (\mathbb{Z}, +) \) に対して \( (2\mathbb{Z}, +) \) は部分群となる。

その他

• \( H \) が \( G \) の部分群であることを示すには、任意の \( a,b \in H \) に対して \( ab^{-1} \in H \) を示せばよい。
• \( H \) が \( G \) の部分群であるとき、もし \( g ~(\in G) \) と \( h ~(\in H) \) が \( gh \in H \) を満たすなら \( g \in H \) である。
  実際に考えてみればよいが、 \( gh \in H \) は「ある \( h' ~(\in H) \) が存在して \( gh = h' \) となる」ということと同値である。両辺に右から \( h^{-1} \) をかけることで \( g = h'h^{-1} \) となり、 \( H \) で演算が閉じているので \( h'h^{-1} \in H \) となる。つまり \( g \in H \) である。
  なお、逆は \( H \) が群であるから成立する。従って実は \( g ~(\in G) \) と \( h ~(\in H) \) が \( gh \in H \) を満たすことと \( g \in H \) であることは同値となる。