準同型定理

(定理) 準同型定理

仮定

• \( G, G' \) は群
• \( \phi \) は準同型写像 \( \phi: G \longrightarrow G' \)

主張

は同型となる。

なお、

• \( G/\mathrm{Ker}\phi \) は \( G \) の正規部分群
• \( \mathrm{Image}\phi \) は \( G' \) の部分群

証明

実際に同型写像 \( \bar{\phi}: G/\mathrm{Ker}\phi \longrightarrow \mathrm{Image}\phi \) を作っていく。以降では \( N = \mathrm{Ker}\phi \) とする。

次のように \( \bar{\phi} \) を定義する。

任意の \( x \in G/N \) に対し、 \( x = gN \) となる \( g \) を任意に選んで、その \( g \) で \( \bar{\phi}(x) = \phi(g) \)

ここで \( \phi(g) \in \mathrm{Image}\phi \) は \( \mathrm{Image}\phi \) の定義から成り立つ。よって \( \phi(g) \in \mathrm{Image}\phi \subset G' \) となる。

まずこの \( \bar{\phi} \) の well-definedness を確認しよう。定義では「任意に選んで」としたが、選び方によって像が変わってしまうとすればそれは写像ではないため、どれを選んでも像が変化しないことを示す必要がある。 \( \bar{\phi} \) が well-defined であるための必要十分条件は、任意の \( x \in G/N \) に対し、 \( x = g_0N = g_1N \) となるような任意の \( g_0, g_1 ~(\in G) \) に対して \( \phi(g_0) = \phi(g_1) \) が成立していることである。これを言うためには、任意の \( g_0, g_1 ~(\in G) \) に対して \( g_0N = g_1N \) ならば \( \phi(g_0) = \phi(g_1) \) が成立していれば十分である (おそらく本当は必要十分だろうけど) 。これは実際次のようにして確かめられる。

\( g_0N = g_1N \) のとき、 \( [g_0] = [g_1] \) であるから、 \( G \) で \( g_0 \sim g_1 \) となる。これは同値関係の定義により \( g_0^{-1}g_1 \in N \) となることを表す。ここで \( N = \mathrm{Ker}\phi \) だったことを思い出すと、 \( G' \) の単位元を \( e' \) として、 \( \phi(g_0^{-1}g_1) = e' \) となることが分かる。仮定から \( \phi \) は準同型写像であるから \( \phi(g_0^{-1})\phi(g_1) = \phi(g_0^{-1}g_1) \) となる。両辺に \( \phi(g_0) \) をかけることで \( \phi(g_1) = \phi(g_0)\phi(g_0^{-1}g_1) = \phi(g_0)e' = \phi(g_0) \) が分かる。よって、 \( \phi(g_0) = \phi(g_1) \) となり \( \bar{\phi} \) は well-defined である。

次に \( \bar{\phi} \) が準同型であることを示す。そのための必要十分条件は \( \bar{\phi}( (aN)(bN) ) = \bar{\phi}(aN)\bar{\phi}(bN) \) となることである。
\( N \) は核なので正規部分群であるから \( aN = Na \) を満たすことに注意する。また、 \( N \) は群なので、演算は \( N \) 内に閉じているはずだから \( NN = N \) となることにも注意。すると、左辺について

さらに \( \phi \) は準同型写像だから

となる。一方で、右辺について

である。両辺から同じ式が得られたので、 \( \bar{\phi}(ab) = \bar{\phi}(a)\bar{\phi}(b) \) が言える。よって \( \bar{\phi} \) は準同型写像。

\( \bar{\phi} \) は次のように全単射であるから、同型写像である。したがってこの同型写像の存在により \( G_1/\mathrm{Ker}\phi \simeq \mathrm{Image}\phi \) が示せる。

単射性

\( \bar{\phi} \) は準同型写像なので、その核が単位元一つからなる集合であればよい (加筆します) 。 \( G_1/N \) の単位元は \( N \) であるから、 \( \mathrm{Ker}\bar{\phi} = \{N\} \) が言えればよい。実際、まず \( \bar{\phi}(N) = \phi(e_{G_1}) = e_{G_2} \) であるから \( N \in \mathrm{Ker}\bar{\phi} \) は言える。

他に \( gN \in \mathrm{Ker}f \) と仮定すると、 \( \bar{\phi}(gN) = \phi(g) = e_{G_2} \) となる。このような \( g \) は定義から \( \mathrm{Ker}\phi (= N) \) に属すので、 \( g \in N \) となる。ところで準同型写像の核は正規部分群なので部分群である。従って \( gN \subset N \) が成り立つ。また、 \( gN \supset N \) も成立する。 (実際、任意の \( n ~(\in N) \) に対して \( m = g^{-1}n ~(\in N) \) ととれば \( n = gm \) と表せるので、 \( n \in gN \) が分かる。) 従って \( gN = N \) となり、 \( \mathrm{Ker}\bar{\phi} = \{N\} \) が示せた。従って、 \( \bar{\phi} \) は単射である。

全射性

全射性を考えるときは、行き先が \( G_2 \) であると勘違いしないように (私はしていた) 。本当の行き先は \( \mathrm{Image}\phi \) である。

\( \bar{\phi}(gN) = \phi(g) \) であることを思い出す。すると任意の \( y ~(\in \mathrm{Image}\phi) \) に対して、ある \( x ~(\in G_1) \) が存在し、 \( \phi(x) = y \) が成立する。この \( x \) で \( \bar{\phi}(xN) = \phi(x) \) が成立するので、全射である。