集合により生成されるイデアル のバックアップ(No.2)

仮定

  • \( R \) は環
  • \( S \) は部分集合 \( S ~(\subset R) \)

定義

\( <S> = \left\{s_1x_1 + s_2x_2 + s_3x_3 + \cdots + s_mx_m \mathrel{}\middle|\mathrel{} s_i \in \{+, -\} ~(符号), x_i \in S ~(x_i は重複してもよい) \right\} \)

これは単項イデアルの一般化になっていて、任意の部分集合 \( S \) が生成するイデアルと考えられる。ここでの生成は、 \( + \) について行う。

同じことだが、いろいろと表記がありえる。例えば、可換性と結合法則を用いて同じ \( x_i \) についてまとめると、

\[ <S> = \left\{a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \cdots + a_nx_n \mathrel{}\middle|\mathrel{} a_i \in S\right\} \]

とかける。さらにこれを

\[ <S> = \left\{\sum_{i} a_ix_i \mathrel{}\middle|\mathrel{} a_i \in R, x_i \in S ~ただし有限個の i を除いて a_i は 0 \right\} \]

と書けば、ノートの表記になる。

イデアルであることの証明

部分群であること

そのためには \( ab^{-1} \) がまた \( <S> \) に属すことを言えばよい。ここでは演算は \( + \) なのでこれは \( a - b \) が \( <S> \) に属していることと同じ。

\[ \sum_{i} a_ix_i - \sum_{i} b_ix_i = \sum_{i}(a_i - b_i)x_i \]

であるから、 \( (a_i - b_i) \) は (仮に \( a_i \neq 0 \) と \( b_i \neq 0 \) となる \( i \) が一切重なっていなくても、せいぜい (有限+有限) 個しか \( c_i \neq 0 \) となる \( i \) がないため) 有限個の \( i \) を除いて \( c_i \) は 0 となる。従ってこれも \( I \) に属する。

定数倍で閉じていること

任意の \( c ~(\in R) \) に対して \( c(\sum_{i} a_ix_i) = \sum_{i} (ca_i)x_i \) とでき、有限個以外の 0 は定数倍しても 0 のままなので、これもまた \( I \) に属している。