単項イデアル

仮定

• \( R \) は環
• \( I ~(\subset R) \) はイデアル

定義

\( I \) が単項イデアルであるとは、ある \( x ~(\in R) \) があって、 \( I = \left\{ax \mathrel{}\middle|\mathrel{} a \in R\right\} \) であることをいう。
このような \( \left\{ax \mathrel{}\middle|\mathrel{} a \in R\right\} \) を \( x \) の傍元という。
\( x \) による単項イデアルのことを \( (x) \) と表す。

イデアルであることの証明

イデアルは \( + \) について部分群であることと、 \( (x) \) の任意の元について、 \( R \) の任意の元をかけてもやはり \( (x) \) の元であることが必要。
単項イデアル \( (x) \) について証明する。

\( + \) について部分群であること

任意の \( a'x, b'x ~(\in (x)) \) をとる。 \( a'x + (-(b'x)) \) が \( (x) \) に含まれていればよい。
さて、 \( b'x \) の加法の逆元 \( -(b'x) \) は \( (-b')x \) である。実際これは \( b'x + (-b')x = (-b')x + b'x = (b' + -b')x = 0x = 0 \) となるので正しい。
従って、 \( a'x + (-(b'x)) = a'x + (-b')x = (a' + (-b'))x = \) となる。 \( a', (-b') \) はどちらも \( R \) に属すから \( a' + (-b') \) も \( R \) に属す。以上から、 \( (a' + (-b'))x \) は \( x \) の傍元 \( (x) \) に含まれる。よって \( (x) \) は \( + \) について部分群である。

\( (x) \) の任意の元に \( R \) の任意の元をかけても \( (x) \) に属すこと

任意の \( y'x ~(\in (x)) \) をとる。任意に \( r ~(\in R) \) をとったとき \( r(y'x) = (ry')x \) となり、 \( ry' \) は \( R \) に属す。すると傍元の定義から \( (ry')x \) は傍元に含まれる。従って積 \( r(y'x) \) \( (x) \) に属す。

例

\( \mathbb{Z} \) と \( m ~(\in \mathbb{Z}) \) に対して \( (m) \) は \( m \) の倍数であり、単項イデアルとなる。