環

仮定

• \( R \) は集合
• \( + \) は二項演算
• \( \times \) は二項演算

定義

\( (R,+,\times) \) の組が次の条件を満たすとき、これを環と言う。

• \( + \) について
  • \( (R,+) \) が可換な群
• \( \times \) について
  • \( (R,\times) \) がモノイド
    • ある \( 1_R \in R \) があって、任意の \( a \in R \) に対して \( a \times 1_R = 1_R \times a = a \) を満たす。
    • 任意の \( a, b, c \in R \) に対して \( (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \)
• 任意の \( a, b, c \in R \) に対して \( (a + b) \times c = a \times c + b \times c \)
• 任意の \( a, b, c \in R \) に対して \( c \times (a + b) = c \times a + c \times b \)

例

\( \mathbb{Z} \) は環となる。

その他

\( \times \) の略記

\( a \times b \) はしばしば \( ab \) と略記する。

乗法についても可換な環のみを考える

環の加法については可換であることが定義である。一方、乗法について可換であることは求められていないが (例 : 行列環) 、今後は乗法についても可換であることを仮定する (可換環) 。

任意の \( a ~(\in R) \) について、 \( a \times 0 = 0 \times a = 0 \)

\( 0 + 0 = 0 \) であるから、両辺に \( a \) をかけると \( a \times 0 + a \times 0 = a \times 0 \) となる (左辺で分配法則を使った) 。
両辺に \( a \times 0 \) の加法の逆元を足すと \( a \times 0 = 0 \) を得る。