群準同型写像の核は部分群 のバックアップ(No.2)

(定理) 準同型写像の核は部分群

仮定

  • \( G_1, G_2 \) は群
  • \( f \) は準同型写像 \( f: G_1 \longrightarrow G_2 \)

主張

\( f \) の核は部分群となる。

証明

任意の \( \mathrm{Ker}f \) の元 \( a, b \) について、 \( ab^{-1} \in \mathrm{Ker} f \) が成り立ちさえすればよいので、それを確かめる。

\( e' \) を \( G_2 \) の単位元とする。

\( a, b \in \mathrm{Ker}f \) を任意にとる。\( f(ab^{-1}) = e' \) を示せばよい。
そのためには、 \( f(a)f(b^{-1}) = e' \) を示せばよい (\( f \) が準同型写像なので \( f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) \) となるため) 。

すなわち、 \( f(a) = e' \) かつ \( f(b^{-1}) = e' \) を示せばよい。

  • \( f(a) = e' \)
    \( a \in \mathrm{Ker}f \) より成立。
  • \( f(b^{-1}) = e' \)
    \( b \in \mathrm{Ker}f \) より \( f(b) = e' \) 。この両辺に右から \( f(b^{-1}) \) をかけると
    \[ f(b)f(b^{-1}) = f(b^{-1}) \]
    従って \( f(e) = f(b^{-1}) \) となる。準同型写像 \( f \) は単位元を単位元に写すので
    \[ e' = f(b^{-1}) \]
    を得る。