群準同型写像の核は部分群

(定理) 準同型写像の核は部分群

仮定

• \( G_1, G_2 \) は群
• \( f \) は準同型写像 \( f: G_1 \longrightarrow G_2 \)

主張

\( f \) の核 \( \mathrm{Ker} f \) は \( G_1 \) の部分群となる。

証明

任意の \( \mathrm{Ker}f \) の元 \( a, b \) について、 \( ab^{-1} \in \mathrm{Ker} f \) が成り立ちさえすればよいので、それを確かめる。

\( e_2~(\in G_2) \) を単位元とする。

\( a, b \in \mathrm{Ker}f \) を任意にとる。\( f(ab^{-1}) = e_2 \) を示せばよい。
\( f \) は準同型写像なので \( f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) \) が成立し、結局、 \( f(a)f(b^{-1}) = e_2 \) を示せばよい。
すなわち、 \( f(a) = e_2 \) かつ \( f(b^{-1}) = e_2 \) を示せば十分。

• \( f(a) = e_2 \)
  \( a \in \mathrm{Ker}f \) より成立。
• \( f(b^{-1}) = e_2 \)
  準同型写像では逆元をとる順序を入れ替えてよいので

  mathjax

  \[ f(b^{-1}) = \{f(b)\}^{-1} \]
  そして、 \( f(b) = e_2 \) であるから、その逆元も \( \{f(b)\}^{-1} = e_2 \) で、以上より

  mathjax

  \[ f(b^{-1}) = e_2 \]