既約元 のバックアップ(No.2)

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• 既約元 へ行く。
  • 1 (2019-01-26 (土) 11:51:18)
  • 2 (2019-01-27 (日) 10:47:20)
  • 3 (2019-04-18 (木) 13:38:03)

仮定

• \( R \) は整域
• \( a ~(\in R) \) は \( R \) の 0 でも単元でない元

定義

\( a \) が既約元であるとは、任意の \( R \) の元 \( b, c \) に対し、もし \( a = bc \) となるならば、 \( b \) か \( c \) の一方が単元になることをいう。逆の言い方をするならば、 \( a \) が非単元 \( b, c \) を使って \( a = bc \) とできないことをいう。

例

• \( \mathbb{Z} \) の既約元の集合は (\( \pm \)素数) である。
  • \( \mathbb{Z} \) の単元は \( 1 \) と \( -1 \) しかないため、これは (中学校で習う) 素数の定義 (を正負に拡張したもの) だった。

その他

• 素元とは似ているが異なる。ただし、 \( \mathbb{Z} \) に代表される一意分解整域 (UFD) ではこの二者は同値となるので、 \( \mathbb{Z} \) ではどちらも (\( \pm \)素数) 素数となる。