集合により生成されるイデアル のバックアップ(No.1)

仮定

  • \( R \) は環

定義

単項イデアルの一般化として、任意の部分集合 \( S ~(\subset R) \) が生成するイデアルも考えられる。
ここでの生成は、 \( + \) について行う。

\( <S> = \{s_1y_1 + s_2y_2 + s_3y_3 + \cdots + s_my_m; s_i \in \{+, -\} ~(符号), y_i \in S ~(y_i は重複してもよい) \} \)
これを、可換性と結合法則を用いて同じ \( y_i \) についてまとめると、 \( \{a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + \cdots + a_nx_n; a_i \in S\} \) 。
さらにこれを \( \sum_{i} a_ix_i; a_i \in R, x_i \in S ただし有限個の i を除いて a_i は 0 \} \) と書けば、ノートの表記になる。

イデアルであることの証明

部分群であること

そのためには \( ab^{-1} \) がまた \( <S> \) に属すことを言えばよい。ここでは演算は \( + \) なのでこれは \( a - b \) が \( <S> \) に属していることと同じ。 \( \sum_{i} a_ix_i - \sum_{i} b_ix_i = \sum_{i}(a_i - b_i)x_i \) となり、 \( (a_i - b_i) \) は (仮にまったく でない \( i \) が重なっていなくてもせいぜい二倍なので) 有限個の \( i \) を除いて 0 となる。従ってこれも \( I \) に属する。

定数倍で閉じていること

任意の \( c ~(\in R) \) に対して \( c(\sum_{i} a_ix_i) = \sum_{i} (ca_i)x_i \) とでき、 有限個以外の 0 は定数倍しても 0 のままなので、これもまた \( I \) に属している。