群準同型写像の核は部分群 のバックアップ(No.1)

(定理) 準同型写像の核は部分群

仮定

  • \( G_1, G_2 \) は群
  • \( f \) は準同型写像 \( f: G_1 \longrightarrow G_2 \)

主張

\( f \) の核は部分群となる。

証明

任意の \( \mathrm{Ker}f \) の元 \( a, b \) について、 \( ab^{-1} \in \mathrm{Ker} f \) が成り立ちさえすればよいので、それを確かめる。

\( a, b \in \mathrm{Ker}f \) を任意にとる。\( f(ab^{-1}) = e \) を示せばよい。
そのためには、 \( f \) が準同型写像であることにより得られる \( f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) \) を利用して、 \( f(a)f(b^{-1}} = e \) を示せばよい。
\( f(a) = e \) は \( a \in \mathrm{Ker}f \) より成立。
ここで、 \( f(b^{-1}) = e \) となる。なぜならば \( f(b) = e \) は \( b \in \mathrm{Ker}f \) より成立するので、この両辺に右から \( f(b^{-1}) \) をかけると \( f(b)f(b^{-1}) = f(b^{-1}) \) となり、準同型写像の性質より \( f(e) = f(b^{-1}) \) となるから、あとは準同型写像 \( f \) が単位元を単位元に写すことから \( e = f(b^{-1}) \) を得る。
以上から、 \( f(a)f(b^{-1}) = ee = e \) 。