自由群

仮定

• \( X = \{x_1, x_2, \cdots\} \) は文字の集合
• \( X^{-1} = \{x_1^{-1}, x_2^{-1}, \cdots\} \) は文字の集合

定義

次のようにして定義される剰余群 \( F(X) \) を、文字集合 \( X \) 上の自由群とする。

構成

\( \Omega = X \cup X^{-1} \) とする。 \( \Omega \) から重複を許して有限個とり出して並べた文字列 \( S = s_1 s_2 s_3 \cdots s_n \) を用意する。これを \( \Omega \) 上の語という。これらの語を全て集めた集合を \( W \) とする。また、語 \( A, B \) の積 \( AB \) を、 \( A \) の後ろにそのまま \( B \) を並べたものと定義する (例: \( A = xyz, B = abc \) のとき \( AB = xyzabc \)) 。このとき、 \( W \) は空の語 \( \emptyset \) を単位元としてモノイドを成す。

ここで、簡約という操作を定義する。
語の中で \( x_i \) と \( x_i^{-1} \) が連続しているとき、この二つをとり去って新しい語を生成することを簡約という。これ以上簡約できない形の語を既約な語という。語 \( S \) を繰り返し簡約して既約な語にしたものを \( I(S) \) と表すことにする。

このとき、 \( W \) 内の同値関係 \( \sim \) を、任意の語 \( A, B \) に対して、 \( A \) と \( B \) の簡約表示が一致することとする。すなわち、 \( A \sim B \) を \( I(A) = I(B) \) で定義する。

以降、\( A \) の剰余類を \( [A] \) で表す。
\( [A], [B] \in W/\sim \) に対し、積を \( [A][B] = [AB] \) と定義すると、剰余群 \( W/\sim \) は群をなす。これを \( F(X) = W/\sim \) とおいて、文字集合 \( X \) 上の自由群と呼ぶ。

証明

1. 積は定義されている。
2. 積はあくまでも並べるだけなので、結合法則を満たす (前半と後半のどちらを先に結合しても変わらない) 。
3. 空の語 \( \emptyset \) は単位元となる。
4. 逆元は存在する。実際に確かめる。
   まず、任意の \( W/\sim \) の元 \( [A] \) をとる (\( A \) は既約で \( A = a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n \) とする) 。これに対し \( [A^{-1}] \) をとる (\( A^{-1} \) は既約で \( A^{-1} = [a_n^{-1} a_{n-1}^{-1} \cdots a_2^{-1} a_1^{-1}] \) とする) 。このとき、積 \( [A][A^{-1}] = [a_1 a_2 \cdots a_{n-1} a_n a_n^{-1} a_{n-1}^{-1} \cdots a_2^{-1} a_1^{-1}] = [\emptyset] \) となる。 \( [A^{-1}] \) は確かに \( [A] \) の逆元となっている。

注意 : \( W \) では群にはならない。逆元の存在に反する。あくまでも積とは「並べたもの」に過ぎないので、確かに既約すれば空の語 \( \emptyset \) になりはするものの、 \( W \) では明確に \( \emptyset \) と \( AA^{-1} \) は異なる語である。

その他

自由群の普遍性なる概念がある。