剰余類

仮定

• \( G \) は群
• \( H \) は \( G \) の部分群

定義

\( G/H = \{aH; a \in G\} \) を剰余類と呼ぶ。

例

• \( G = \mathbb{Z}, H = 2\mathbb{Z}, \cdot = + \) (演算は \( + \)) とすると、 \( G/H = \{H, 1 + H\} \simeq \{0, 1\} \)
  • \( a = 0 \) のとき \( a + H = 0 + H \)
  • \( a = 1 \) のとき \( a + H = 1 + H \)
  • \( a = 2 \) のとき \( a + H = 2 + H \) だが、 \( H = 2\mathbb{Z} \) であったことを思い出すと \( 2 + H = H \) となる (偶数全体の集合の各要素に 2 を足した集合は、やはり偶数全体となるため) 。
  • \( a = 3 \) のとき \( a + H = 3 + H \) だが、 \( H = 2\mathbb{Z} \) であったことを思い出すと \( 3 + H = 1 + (2 + H) = 1 + H \) となる。
  • ... 同様にすると、以降 \( H \) と \( 1 + H \) しか項が出てこない。