自由群の普遍性

(定理) 自由群の普遍性

仮定

• \( X \) は文字集合
• \( F(X) \) は \( X \) 上の自由群
• \( G \) は任意の群
• \( f: X \longrightarrow G \) は任意の写像

主張

準同型写像 \( \tilde{f}: F(X) \longrightarrow G \) が存在して、任意の \( a~(\in X) \) に対して次を満たす。

なんで？

\( a,b \in X \) に対して、文字列の意味で \( ab \) について \( \tilde{f}([ab]) = f(a)f(b) \) とすれば、 \( \tilde{f}([ab]) = \tilde{f}([a])\tilde{f}([b]) \) とできて準同型写像になる。(雑)