有限関係

仮定

• \( G \) は群

定義

\( G \) が有限関係であるとは、 (おそらく) ある自由群 \( F \) と、ある有限部分集合 \( R ~(\subset F) \) があって、この \( R \) を含む最小の正規部分群 (正規閉包と呼ぶ) \( N \) による剰余類群 \( F/N \) が \( G \) と同型となること。

例

• \( \mathbb{Z} \) について、 \( X = \{x\}, R = \emptyset \) をとり、 \( X \) により生成される自由群を \( F \) とする。\( R \) の正規閉包 \( N ~(= \emptyset) \) について \( \mathbb{Z} \simeq F/N \) となる。 \( R \) は有限集合だから、 \( \mathbb{Z} \) は有限関係。
• \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) について、 \( X = \{x\}, R = \{[x^n]\} \) をとり、 \( X \) により生成される自由群を \( F \) とする。\( R \) の正規閉包 \( N ~(= \{e, [x^n], [x^{-n}]\}) \) について \( \mathbb{Z} \simeq F/N \) となる。 \( R \) は有限集合だから、 \( \mathbb{Z} \) は有限関係。

その他

• 有限表示と密接に関係があるので、そちらを見たほうがよい。