作用があるとき分解できる

(定理) 作用があると分解できる

仮定

• \( G \) は群
• \( X \) は集合

主張

ある \( X' ~(\subset X) \) が存在して、G-軌道の非交和で

とできる。

証明

例

• 共役作用 \( G \times G \longrightarrow G: (g, x) \longmapsto gxg^{-1} \) についてこれを適用すると \( G = \bigsqcup Gx = \bigsqcup \left\{gxg^{-1} \mathrel{}\middle|\mathrel{} g \in G \right\} = \bigsqcup C(x) \) と分解できる (ただし \( C(x) \) は \( x \) の共役類 \( \left\{gxg^{-1} \mathrel{}\middle|\mathrel{} g \in G \right\} \) とする) 。
  もし \( C(x) = \{x\} \) (\( x \) のみによる群) となるならば、任意の \( g \) について \( gx = xg \) が成り立つことになる。つまり \( x \) は群の中心 \( Z(G) \) に属す。