作用

仮定

• \( G \) は群
• \( e ~(\in G) \) は単位元
• \( X \) は集合
• 写像 \( \cdot: G \times X \longrightarrow X \)

定義

1. 任意の \( x \in X \) について \( e \cdot x = x \)
2. 任意の \( a, b \in G \) について \( (a \cdot (b \cdot x) = (a \cdot b) \cdot x) \)

例

• \( X = G \) のときは通常の演算
• \( G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, X = \mathbb{R}^2 \)
• \( G = \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), X = \mathbb{R}^n \)
  \( gx \) はベクトルとの線形変換 \( g \) による像と考える。
• \( X = G \) のときに \( (g, g') \longmapsto gg'g^{-1} \) という作用 (共役作用)
• \( X \) を任意の集合として
  \( (g, x) \longmapsto x \) は (\( G \) が何もしていないので) 自明な作用という。