作用があるとき分解できる
Last-modified: Sun, 27 Jan 2019 22:26:28 JST (1958d)
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(定理) 作用があると分解できる
仮定
- \( G \) は群
- \( X \) は集合
主張
ある \( X' ~(\subset X) \) が存在して、G-軌道の非交和で
mathjax
\[ G = \bigsqcup_{x \in X'} G_x \]
とできる。
証明
例
- 共役作用 \( G \times G \longrightarrow G: (g, x) \longmapsto gxg^{-1} \) についてこれを適用すると \( G = \bigsqcup Gx = \bigsqcup \left\{gxg^{-1} \mathrel{}\middle|\mathrel{} g \in G \right\} = \bigsqcup C(x) \) と分解できる (ただし \( C(x) \) は \( x \) の共役類 \( \left\{gxg^{-1} \mathrel{}\middle|\mathrel{} g \in G \right\} \) とする) 。
もし \( C(x) = \{x\} \) (\( x \) のみによる群) となるならば、任意の \( g \) について \( gx = xg \) が成り立つことになる。つまり \( x \) は群の中心 \( Z(G) \) に属す。