素元 のバックアップ(No.3)

仮定

  • \( R \) は整域
  • \( p ~(\in R) \) は \( R \) の元

定義

\( p \) が素元であるとは、 \( (p) \) が素イデアルであることをいう。

例

  • \( \mathbb{Z} \) の素元の集合は素数である。

備考

Wikipedia では同値な別の定義が記されていた。
\( p \) が素元であるとは、任意 \( R \) の元 \( a, b \) に対し、 \( p \) が \( ab \) を割り切るならば必ず、 \( a \) が \( p \) で割り切れるか \( b \) が \( p \) で割り切れるかのいずれかは成立することをいう。割り切るとは \( a = np \) となる \( R \) の元 \( n \) が存在するという意味。するとある元 \( x \) が \( p \) で割り切れることは \( x \in \left\{np \mathrel{}\middle|\mathrel{} n \in R\right\} = (p) \) となることである。そのように言い換えれば、そのまま素イデアルによる定義である。