一意分解整域 のバックアップ(No.3)

仮定

  • \( R \) は環

定義

\( R \) が一意分解整域 (UFDとも) であるとは、零元でも単元でもない \( R \) の元 \( a \) が有限個の素元の積に分解できることをいう。

例

  • \( \mathbb{Z} \) は UFD の例である。 \( 0, \pm 1 \) を除く元が全て素因数分解によって素元の積に分解できるためである。負数に関しては適当な項を \( -1 \) 倍してやればよい。
    • すぐ述べる通り、このとき「有限個の素元の積」への分解は、積の順序と単元倍を除いて一意である。
  • 体 (\( \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C} \) など) は零元と単元しかないので、自明な意味で UFD 。

その他