ネーター環 のバックアップ(No.1)

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• ネーター環 へ行く。
  • 1 (2019-01-26 (土) 20:54:57)
  • 2 (2019-01-27 (日) 11:33:44)

仮定

• \( R \) は環

定義

以下の同値な条件のいずれかを満たすとき、 \( R \) はネーター環であるという。

1. 任意の \( R \) のイデアルが有限生成
1. \( R \) のイデアルの任意の昇鎖列は有限回で停止する。
すなわち \( I_1 \subset I_2 \subset I_3 \subset \cdots \) となるようなイデアル \( I_i ~(\subset R) \) をとったとき、あるイデアル \( I_\infty \) とある整数 \( N \) が存在して、 \( n \geqq N \) ならば \( I_n = I_\infty \) を満たす。

例

• PID は任意のイデアルが単項イデアルなので、もちろん有限生成であって、ネーター環。
• \( \mathbb{Z} \) は PID なのでネーター環。
• ネーター環の剰余環はネーター環。
• ネーター環の部分環はネーター環とは限らない。