R-準同型の核は部分R-加群

(定理) R-準同型の核は部分R-加群

仮定

• \( R \) は環
• \( M_1, M_2 \) はR-加群
• \( f: M_1 \longrightarrow M_2 \) はR-準同型

主張

\( \mathrm{Ker}f \) は \( M_1 \) の部分R-加群である。

証明

任意の \( r ~(\in R), m ~(\in \mathrm{Ker}f) \) について \( rm \in \mathrm{Ker}f \) を満たしていればよい。
ここで \( f(m) = 0 \) であって、 \( f(rm) = rf(m) \) であるから、 \( f(rm) = r \cdot 0 = 0 \) である。
よって \( rm \in \mathrm{Ker}f \) となる。