部分R-加群
Last-modified: Sun, 27 Jan 2019 12:07:13 JST (1940d)
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freeze
仮定
- \( R \) は環
- \( M \) は R-加群
- \( N ~(\subset M) \) は \( M \) の部分アーベル群
定義
\( N \) が部分R-加群であるとは、演算が "閉じている" ことを言う。つまり
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\[ RN \subset N \]
なお \( RN \) は\( \left\{r\cdot n \mathrel{}\middle|\mathrel{} r \in R, n \in N \right\} \) である。
例
- \( R \) のイデアル \( I \) は \( M \) の部分R-加群である。
- \( I \) を \( R \) のイデアル、 \( M \) をR-加群とするとき、
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\[ IM := \left\{\left(\sum_{j=1}^m a_j m_j\right) ~(\in M) \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in I, m_j \in M \right\} \] - \( M \) の任意の部分集合 \( S \) について、
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\[ \langle S\rangle := \left\{\left(\sum_{j=1}^m a_j s_j\right) ~(\in M) \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in R, s_j \in S \right\} \]