群準同型写像の像は部分群

(定理) 準同型写像の像は部分群

仮定

• \( G_1, G_2 \) は群
• \( f \) は準同型写像 \( f: G_1 \longrightarrow G_2 \)

主張

\( f \) の像 \( \mathrm{Image}f \) は \( G_2 \) の部分群となる。

証明

\( e~(\in G_1), e'~(\in G_2) \) をそれぞれ単位元とする。

任意の \( \mathrm{Image}f \) の元 \( a, b \) について、 \( ab^{-1} \in \mathrm{Image} f \) が成り立ちさえすればよいので、それを確かめる。

像の定義より、 \( a = f(\alpha), b = f(\beta) \) となる \( \alpha, \beta~(\in G_1) \) は存在するので、そのうちの適当な一つをとる。

ここで \( \beta \) について、準同型写像の逆元をとる順番は入れ替えてもよい性質により