群

定義

集合 \( G \) が次の条件を満たすとき、 \( G \) は群であるという。

1. \( G \) の任意の 2 つの元 \( a, b \) に対して、二項演算 (積) \( \cdot : G \times G \longrightarrow G \) が定義されている。
2. 3 つの元 \( a, b, c \) に対して、結合則 \( a(bc) = (ab)c \) が成り立つ。
3. 単位元 \( e \) があり、任意の \( g \in G \) に対して \( ge = eg = g \) が成り立つ。
4. 任意の元 \( g \) に対し、逆元 \( g^{-1} \) があり、 \( gg^{-1} = g^{-1}g = e \) が成り立つ。

一般に、積に対して可換性 \( ab = ba \) は要求しない。積が可換である場合、 可換群あるいは Abel 群と呼ぶことがある。
逆元は一意的であり、単位元も一意的である。

その他

• \( a, b, c \in G, a \neq b \) とすると、 \( ac \neq bc \) である。右から \( c^{-1} \) をかけると分かる。