最小の部分群

仮定

• \( G \) は群
• \( a \) は \( G \) の元、すなわち \( a \in G \)
• \( S (= \{x_1, x_2, \cdots\}) \) は \( G \) の集合の部分集合、すなわち \( S \subset G \)

定義

• \( a \) を含む最小の部分群を \( \langle a\rangle \) と表す。
• \( S \) を含む最小の部分群を \( \langle S\rangle \) と表す。

例

• \( \langle a\rangle \) は実際には \( \{e, a^1, a^{-1}, a^2, a^{-2}, \cdots\} \) となる。
• \( \langle S\rangle \) は実際には \( \{x_1^{n_1}x_2^{n_2}\cdots; n_i \in \mathbb{Z} ~\forall i\} \) となる (たぶん) 。

その他

• \( a \) が生成するまたは \( S \) が生成する部分群と言ったりもする。