イデアルによる商集合 (剰余環)

(定理) イデアルによる剰余環

仮定

• \( R \) は環
• \( I ~(\subset R) \) は \( R \) のイデアル

主張

剰余類 \( R/I \) は和と積を次のように定義すると環となる。

• \( +: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I \)
• \( \times: (a + I)(b + I) = ab + I \)

証明

和 \( (a + I) + (b + I) = (a + b) + I \) が well-defined

\( a + I, b + I, a' + I, b' + I \in R/I \) をとる。 \( a + I = a' + I, b + I = b' + I \) とする。つまり \( a - a' \in I, b - b' \in I \) が成立している。この上で \( (a + b) + I = (a' + b') + I \) 、つまり \( (a + b) - (a' + b') \in I \) となればよい。これは実際 \( (a - a') + (b - b') \) と並び換えることで \( I \) 内の要素同士の和となるので \( (a - a') + (b - b') \in I \) が確かめられる。

積 \( (a + I)(b + I) = ab + I \) が well-defined

\( a + I, b + I, a' + I, b' + I \in R/I \) をとる。 \( a + I = a' + I, b + I = b' + I \) とする。つまり \( a - a' \in I, b - b' \in I \) が成立している。この上で \( (ab) + I = (a'b') + I \) 、つまり \( (ab) - (a'b') \in I \) となればよい。ここで \( b(a - a') \in I \) と \( a'(b - b') \in I \) は成立するので \( b(a - a') + a'(b - b') \in I \) が成立。左側を計算してみると (特に可換環 (和の演算が可換な環) を仮定しているから) \( ab - a'b' \in I \) であることが分かる。

\( + \) について群

\( R \) は可換環なので \( + \) に関する群として見たときは Abel 群となる。従って \( I \) は正規部分群であるから、 \( R/I \) は群を成す (剰余類群を参照) 。

\( \times \) についてモノイド

とりあえず \( R \) の乗法単位元を \( 1 \) とすると \( 1 + I \) は \( R/H \) の乗法単位元となる。結合則も、 \( a+I, b+I, c+I \in R/H \) として、

のように成立。

分配法則

\( a+I, b+I, c+I \in R/I \) について

• \( (a+I + b+I)(c+I) = ( (a+b)+I)(c+I) = (a+b)c+I = ac+bc+I = (ac+I)+(bc+I) = ( (a+I)(c+I))+( (b+I)(c+I)) \)
• \( (c+I)(a+I + b+I) = (c+I)( (a+b)+I) = c(a+b)+I = ca+cb+I = (ca+I)+(cb+I) = ( (c+I)(a+I))+( (c+I)(b+I)) \)

よって \( R/I \) は環である。