素元は既約元

(定理) 素元ならば既約元

仮定

• \( R \) は整域
• \( p ~(\in R) \) は素元

主張

\( p \) は既約元である。

証明

\( p = ab \) とする。 \( ab \in (p) \) であり、 \( (p) \) は素元の定義から素イデアルであるから、 \( a \in (p) \) または \( b \in (p) \) が成り立つ。
\( a \in (p) \) とすると、ある \( R \) の元 \( c \) によって \( a = cp \) と書けることになる。可換なので \( cp = pc \) 。すると \( p = ab = (pc)b \) となるから、 \( p = pcb \) の両辺を \( p \) で割って \( 1 = cb \) となる。したがって \( c \) は \( b \) の逆元なので、 \( b, c \) は単元である。特に、どのような積 \( ab \) についても \( b \) が単元になる。これは、 \( p = ab \) が既約元であることの定義である。
\( b \in (p) \) としても、同様に \( p \) が既約元であることが示せる。