素イデアルによる剰余環
freeze
(定理) 素イデアルによる剰余環
仮定
- \( R \) は環
- \( I ~(\subset R) \) は部分群
主張
\( R/I \) が整域 \( \Longleftrightarrow \) \( I \) が素イデアル
証明
\( R/I \) における加法の単位元 \( \overline{0} \) は \( I \) であることに注意。 \( x + I \) を単に \( \overline{x} \) と略記する。 (ここではそれは単なる略記である。)
\( \Longrightarrow \)
\( ab \in I \) となるような \( a, b \in R \) をとる。
このとき \( \overline{a}\overline{b} = \overline{ab} = \overline{0} \) である。 \( R/I \) が整域であることより \( \overline{a} = \overline{0} \) または \( \overline{b} = \overline{0} \) が成り立つ。
すなわち \( a \in I \) または \( b \in I \) のいずれかが成り立つ。これは素イデアルの定義である。
\( \Longleftarrow \)
\( \overline{a}\overline{b} = \overline{0} \) となるような \( \overline{a}, \overline{b} \in R/I \) をとる。
\( \overline{a}\overline{b} = \overline{ab} \) より \( \overline{ab} = \overline{0} \) であるから \( ab \in I \) を得る。すると \( I \) が素イデアルであることから \( a \in I \) または \( b \in I \) を得る。
したがって \( \overline{a} = \overline{0} \) または \( \overline{b} = \overline{0} \) は成り立つ。これは整域の定義である。