n次対称群

定義

\( S_n = (G_n, \cdot) \) で表される群のこと。

集合 \( G_n \)

\( A = {x_1, \cdots, x_n} \) とするとき、 \( G_n \) を \( A \) 内の置換全体の集合と定義する。
すなわち、 \( G_n := \{写像 f; f: A \longrightarrow A : 全単射 \} \)

二項演算 \( \cdot \)

置換同士の合成を表す。

群であることの証明

結合則

置換 \( f \circ g \circ h \) はどういう順番で置換しても結果は同じ (あみだくじを考えるとよい？) 。

単位元

何も変えない恒等置換を単位元とすればよい。

逆元

置換は全単射なので、その逆写像をもってこればよい。これはその置換によって入れ替えられるものをもと通りに戻すような置換になっている。