UFD の既約元は素元 の変更点
Top > UFD の既約元は素元
- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
- UFD の既約元は素元 へ行く。
* (定理) UFD の既約元は素元 [#hcad20fe]
** 仮定 [#uc306db7]
- &mathjax{R}; は [[UFD>一意分解整域]]
- &mathjax{a ~(\in R)}; は既約元
** 主張 [#f2274f05]
&mathjax{a}; は素元である。
* 証明 [#m05ff4ad]
&mathjax{a}; を素元分解すると、 &mathjax{n}; を自然数として &mathjax{a = p_1 \cdots p_n}; となったとする。
このとき、 &mathjax{a}; は既約元であるから、定義により &mathjax{p_i}; のどれか一つは &mathjax{a}; の単元倍となる。今 &mathjax{R}; は可換であるから &mathjax{p_1}; が &mathjax{a}; の単元倍であったとしても一般性を失わない。
このとき、 &mathjax{a}; は既約元であるから、よく考えると (後々加筆します) &mathjax{p_i}; のどれか一つは &mathjax{a}; の単元倍となる。今 &mathjax{R}; は可換であるから &mathjax{p_1}; が &mathjax{a}; の単元倍であったとしても一般性を失わない。
さて、 &mathjax{n \geqq 2}; であるとすると、 &mathjax{p_2 \cdots p_n}; が単元であるから、これは各 &mathjax{p_i ~(i \geqq 2)}; が素元であることに矛盾する。よって &mathjax{n = 1}; である。
つまり、 &mathjax{a = p_1}; となる。 &mathjax{p_1}; は素元なので、実は &mathjax{a}; も素元なのであった。
* その他 [#b2e8ca11]
- 逆「素元ならば既約元」は一般の整域 &mathjax{R}; で成立する。
- 「既約元ならば素元」が成立するのは UFD でのみ成り立つ (実は少しだけ条件を緩めることはできる) 。