R-準同型の核は部分R-加群 の変更点

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* (定理) R-準同型の核は部分R-加群 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M_1, M_2}; はR-加群
- &mathjax{f: M_1 \longrightarrow M_2}; はR-準同型

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{\mathrm{Ker}f}; は &mathjax{M_1}; の部分R-加群である。

* 証明 [#m05ff4ad]

任意の &mathjax{r ~(\in R), m ~(\in \mathrm{Ker}f)}; について &mathjax{rm \in \mathrm{Ker}f}; を満たしていればよい。
ここで &mathjax{f(m) = 0}; であって、 &mathjax{f(rm) = rf(m)}; であるから、 &mathjax{f(rm) = r \cdot 0 = 0}; である。
よって &mathjax{rm \in \mathrm{Ker}f}; となる。