R係数行列 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{E_n}; は &mathjax{n}; 次正方行列

* 定義 [#cd8b54cb]

- &mathjax{R}; 係数 &mathjax{m \times n}; 行列全体を &mathjax{M_{m \times n}(R)}; とかく。
- &mathjax{m = n}; のとき、
-- &mathjax{\mathrm{GL}_n(R) := \left\{M \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists M' \in M_{n\times n}(R) ~\mathrm{s.t.}~ MM' = M'M = E_n\right\}};
--- 正則行列？
-- &mathjax{\mathrm{SL}_n(R) := \left\{M \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists M' \in M_{n\times n}(R) ~\mathrm{s.t.}~ MM' = M'M = E_n,~ \det M = 1\right\}};
--- 直交行列より少し強い ( &mathjax{\det M = \pm 1}; なら直交行列となる)

* その他 [#z6e8312f]
* その他 [#g81044b6]

&mathjax{M_{n \times n}(R) \supset \mathrm{GL}_n(R) \supset \mathrm{SL}_n(R)};
- &mathjax{M_{n \times n}(R) \supset \mathrm{GL}_n(R) \supset \mathrm{SL}_n(R)};
- &mathjax{M \in \mathrm{GL}_n(R)}; のとき &mathjax{\det M \in R^*}; (&mathjax{R^*}; は乗法群)
-- &mathjax{\det(M) \det(M') = 1}; を満たしているはず。 &mathjax{\det(M), \det(M') \in R}; であるから、いずれも &mathjax{R}; の単元である必要がある。
- &mathjax{M}; から &mathjax{M'}; への行基本変形 (列基本変形) は &mathjax{M' = (基本行列有限個の積) M (基本行列有限個の積)}; で表せる。 (基本行列有限個の積は &mathjax{\mathrm{GL}_n(R)}; に属している。)