R係数行列

仮定

• \( R \) は環
• \( E_n \) は \( n \) 次正方行列

定義

• \( R \) 係数 \( m \times n \) 行列全体を \( M_{m \times n}(R) \) とかく。
• \( m = n \) のとき、
  • \( \mathrm{GL}_n(R) := \left\{M \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists M' \in M_{n\times n}(R) ~\mathrm{s.t.}~ MM' = M'M = E_n\right\} \)
    • 正則行列？
  • \( \mathrm{SL}_n(R) := \left\{M \mathrel{}\middle|\mathrel{} \exists M' \in M_{n\times n}(R) ~\mathrm{s.t.}~ MM' = M'M = E_n,~ \det M = 1\right\} \)
    • 直交行列より少し強い ( \( \det M = \pm 1 \) なら直交行列となる)

その他

• \( M_{n \times n}(R) \supset \mathrm{GL}_n(R) \supset \mathrm{SL}_n(R) \)
• \( M \in \mathrm{GL}_n(R) \) のとき \( \det M \in R^* \) (\( R^* \) は乗法群)
  • \( \det(M) \det(M') = 1 \) を満たしているはず。 \( \det(M), \det(M') \in R \) であるから、いずれも \( R \) の単元である必要がある。
• \( M \) から \( M' \) への行基本変形 (列基本変形) は \( M' = (基本行列有限個の積) M (基本行列有限個の積) \) で表せる。 (基本行列有限個の積は \( \mathrm{GL}_n(R) \) に属している。)