部分R-加群 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{R}; は環
- &mathjax{M}; は R-加群
- &mathjax{N ~(\subset M)}; は &mathjax{M}; の部分アーベル群

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{N}; が部分R-加群であるとは、演算が "閉じている" ことを言う。つまり
#mathjax(RN \subset N);
なお &mathjax{RN}; は&mathjax{\left\{r\cdot n \mathrel{}\middle|\mathrel{} r \in R, n \in N \right\}}; である。

* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{R}; のイデアル &mathjax{I}; は &mathjax{M}; の部分R-加群である。
- &mathjax{I}; を &mathjax{R}; のイデアル、 &mathjax{M}; をR-加群とするとき、
#mathjax(IM := \left\{\left(\sum_{1\leqq k\leqq m} a_jm_j\right) \in M \mathrel{}\middle|\mathrel{} a_j \in I, m_j \in M \right\});
#mathjax(IM := \left\{\left(\sum_{j=1}^m a_j m_j\right) ~(\in M) \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in I, m_j \in M \right\});
は &mathjax{M}; の部分R-加群である。
-  &mathjax{M}; の任意の部分集合 &mathjax{S}; について、
#mathjax(\langle S\rangle := \left\{\left(\sum_{1\leqq j\leqq m} a_js_j\right) \in M \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in R, s_j \in S \right\});
#mathjax(\langle S\rangle := \left\{\left(\sum_{j=1}^m a_j s_j\right) ~(\in M) \mathrel{}\middle|\mathrel{} m \in \mathbb{N}, a_j \in R, s_j \in S \right\});
とするとき、 &mathjax{\langle S\rangle}; を &mathjax{S}; で生成される &mathjax{M}; の部分R-加群であるという。