部分群であることの証明 の変更点
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* (定理) 部分群であることの必要十分条件 [#hcad20fe]
** 仮定 [#uc306db7]
- &mathjax{(G,\cdot)}; は群
- &mathjax{H}; は &mathjax{G}; の部分集合
- 任意の &mathjax{a, b \in H}; について、 &mathjax{a \cdot b^{-1} \in H};
** 主張 [#f2274f05]
&mathjax{(H, \cdot)}; は部分群
* 証明 [#m05ff4ad]
+ (演算)
仮定より、演算は定義されている。
この後確認するように任意の元には逆元が存在するので、演算は閉じている。具体的に説明する。つまり、任意の &mathjax{a,b \in H}; に対してその逆元 &mathjax{b^{-1}}; は &mathjax{H}; に属す。これをとってきて &mathjax{a \cdot (b^{-1})^{-1}}; を考えると、これは仮定から &mathjax{H}; に属す。一方、これは実は &mathjax{ab}; に他ならないので、 &mathjax{ab \in H}; がわかる。
+ (結合則)
&mathjax{a, b, c \in H}; とする。 これらは &mathjax{G_1}; の元でもあり、 &mathjax{G_1}; 内では結合則が成り立っているので、 &mathjax{(ab)c = a(bc)};
+ (単位元)
&mathjax{a \in H}; のとき、仮定より、 &mathjax{a \cdot a^{-1} \in H}; となる。ところで &mathjax{aa^{-1} = e}; より、 &mathjax{e \in H}; 。
+ (逆元)
上で、&mathjax{H}; に単位元が含まれていることは分かった。すると、任意の &mathjax{a}; について、仮定より、 &mathjax{e \cdot a^{-1}}; は &mathjax{H}; に含まれる。ところで &mathjax{e \cdot a^{-1} = a^{-1}}; より、 &mathjax{a^{-1} \in H}; 。