部分群 の変更点

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* 仮定 [#c9335d3b]

- &mathjax{(G, \cdot)}; は群
- &mathjax{H}; は &mathjax{H \subset G}; すなわち &mathjax{G}; の部分集合

* 定義 [#cd8b54cb]

&mathjax{(H, \cdot)}; が部分群であるとは、 &mathjax{H}; が演算 &mathjax{\cdot}; についてなお群であることを言う。

* 例 [#ae2093c7]

- &mathjax{(\mathbb{Z}, +)}; に対して &mathjax{(2\mathbb{Z}, +)}; は部分群となる。

* その他 [#zcfc3daf]

- &mathjax{H}; が &mathjax{G}; の部分群であることを示すには、任意の &mathjax{a,b \in H}; に対して &mathjax{ab^{-1} \in H}; を[[示せばよい>部分群であることの証明]]。
- &mathjax{H}; が &mathjax{G}; の部分群であるとき、もし &mathjax{g ~(\in G)}; と &mathjax{h ~(\in H)}; が &mathjax{gh \in H}; を満たすなら &mathjax{g \in H}; である。
実際に考えてみればよいが、 &mathjax{gh \in H}; は「ある &mathjax{h' ~(\in H)}; が存在して &mathjax{gh = h'}; となる」ということと同値である。両辺に右から &mathjax{h^{-1}}; をかけることで &mathjax{g = h'h^{-1}}; となり、 &mathjax{H}; で演算が閉じているので &mathjax{h'h^{-1} \in H}; となる。つまり &mathjax{g \in H}; である。
なお、逆は &mathjax{H}; が群であるから成立する。従って実は &mathjax{g ~(\in G)}; と &mathjax{h ~(\in H)}; が &mathjax{gh \in H}; を満たすことと &mathjax{g \in H}; であることは同値となる。