逆元の一意性 の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 逆元の一意性 へ行く。

* (命題) 逆元の一意性 [#j9fbe862]

** 仮定 [#md18c368]

- &mathjax{G}; は[[群]]

** 主張 [#nd76245c]

任意の元 &mathjax{g \in G}; に対し、その逆元 &mathjax{g^{-1}}; は一意に存在する。

* 証明 [#l5894f8c]

仮に &mathjax{g}; に対して異なる二つの逆元があると仮定する。それらの逆元を &mathjax{a, b ~ (a \neq b)}; とする。
このとき、積 &mathjax{agb}; を考えると、群の結合則より

#mathjax(agb = (ag)b = eb = b)

かつ

#mathjax(agb = a(gb) = ab = a)
#mathjax(agb = a(gb) = ae = a)

となる。従って &mathjax{a = b}; となるが、これは矛盾。よって仮定は誤りであり、 &mathjax{g}; の逆元は一意に存在する。