群準同型写像の核は部分群 の変更点

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* (定理) 準同型写像の[[核]]は部分群 [#hcad20fe]

** 仮定 [#uc306db7]

- &mathjax{G_1, G_2}; は群
- &mathjax{f}; は準同型写像 &mathjax{f: G_1 \longrightarrow G_2};

** 主張 [#f2274f05]

&mathjax{f}; の核 &mathjax{\mathrm{Ker} f}; は &mathjax{G_1}; の部分群となる。

* 証明 [#m05ff4ad]

[[任意の &mathjax{\mathrm{Ker}f}; の元 &mathjax{a, b}; について、 &mathjax{ab^{-1} \in \mathrm{Ker} f}; が成り立ちさえすればよい>部分群であることの証明]]ので、それを確かめる。

&mathjax{e_2~(\in G_2)}; を単位元とする。

&mathjax{a, b \in \mathrm{Ker}f}; を任意にとる。&mathjax{f(ab^{-1}) = e_2}; を示せばよい。
&mathjax{f}; は準同型写像なので &mathjax{f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1})}; が成立し、結局、 &mathjax{f(a)f(b^{-1}) = e_2}; を示せばよい。
すなわち、 &mathjax{f(a) = e_2}; かつ &mathjax{f(b^{-1}) = e_2}; を示せば十分。

- &mathjax{f(a) = e_2};
&mathjax{a \in \mathrm{Ker}f}; より成立。
- &mathjax{f(b^{-1}) = e_2};
[[準同型写像では逆元をとる順序を入れ替えてよい>準同型写像#vc68df4f]]ので
[[準同型写像では逆元をとる順序を入れ替えてよい>群準同型写像#vc68df4f]]ので
#mathjax(f(b^{-1}) = \{f(b)\}^{-1});
そして、 &mathjax{f(b) = e_2}; であるから、その逆元も &mathjax{\{f(b)\}^{-1} = e_2}; で、以上より
#mathjax(f(b^{-1}) = e_2);